2018黑龙江公务员行测备考：容斥问题

苏苏萌萌哒

2018黑龙江公务员行测备考：容斥问题
容斥问题是黑龙江省考中一类常见问题，并且在近几年的考试中考察的频率呈现上升的趋势，因此中公教育专家要求每位同学都能在掌握基础知识的基础上快速解出答案，争取在容斥问题这个模块能够做到不丢分。
一、题型特征
容斥问题是指题目中出现多个集合概念，且研究集合与集合间交叉关系的问题。通过题型特征可以窥探出容斥问题研究的基本内容是集合的问题，且是集合间交叉的问题。一般包括两者容斥、三者容斥和容斥极值问题三大模块，本节我们的主要内容是两者和三者容斥问题。
二、解题核心
每个区域只记一次，做到不重复不遗漏。不论是两者和三者容斥问题，在解决问题时都要根据这个基本核心进行解题，即在计数时，必须保证图中的每个区域只计数一次，重复计数的区域要去除，未计数的区域要补记上，总之要保证每个区域能且只能记一次。
三、容斥公式及解题方法
(一)、基本公式： 两者容斥：I=A+B-A∩B+M
三者容斥：I =A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C+M
下面我们通过一个实例来解释式中每个字母的含义
【例1】(两者容斥)某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都参加的有5人，则两科都不参加的有多少人?
题中参加物理竞赛和参加数学竞赛的人可以分别看成集合A和B;则A∩B则表示既参加物理竞赛又参加数学竞赛的人，即题干中的22人;提问的两科都不喜欢的人就是我们公式中的M，即两科都不参加的人数;而I则表示全班的所有人也叫做全集。
【例2】(三者容斥)某班分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术的有20人，参加音乐的有24人，参加手工的有31人，同时参加美术和音乐的有5人，同时参加音乐和手工的有6人，同时参加美术和手工的有7人，三个小组都参加的有3人，则三科都不参加的有多少人?
题中参加美术、音乐、手工三个小组的可以分别看成集合A、B和C;而A∩B、B∩C和C∩A则表示参加两个小组的人数(即同时参加美术和音乐的有5人，同时参加音乐和手工的有6人，同时参加美术和手工的有7人);三个小组都参加的有3人即为A∩B∩C;提问的两三科都不喜欢的人就是我们公式中的M;而I则表示全班的所有人也叫做全集。
这里需要注意的是上述两个公式中的M可能存在没有的情况。
(二)、解题方法：公式法+文氏图。下面我们通过例题一起来看一下公式法和文式图法是怎么应用在具体题中的。
四、常见题型
(一)两者容斥问题
1、公式法
【例3】一个办公室共有15名员工，其中爱喝绿茶的有8人，爱喝咖啡的有10人，什么都不爱喝的有2人，问两种都爱喝的有几人?
A. 3 B. 4 C.5 D. 6
【解析】可以在已知条件上直接标注上相应的集合，则这道题是求A∩B 的，根据公式I=A+B-A∩B+M，将题干中的相应数字带入公式即可求得，即15=8+10-A∩B+2→A∩B=5，选择C。
2、图示法：当用公式不能直接求解出答案时，建议大家结合文式图进行做题，即结合下面的图形，将已知条件标清，灵活灵用即可。
(二)、三者容斥问题
1、公式法
【例4】三位基金经理投资若干只股票。郑经理买过其中的66只，王经理买过其中的40只，李经理买过其中的26只，张和李经理都买过的17只，王经理和李经理都买过的13只，王经理和张经理都买过的9只，三人都买过的6只，问这三人一共买了多少股票?
A. 95 B. 96 C.98 D. 99
【解析】可以在已知条件上直接标注上相应的集合，则这道题是求I 的，根据公式I =A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C+M，将题干中的相应数字带入公式即可求得，即I=66+40+26-17-13-9+6=99(在解决一般容斥问题的时候，我们经常会用到尾数法这种方法以便大家快速解题，节省解题时间)，选则D。
2、图示法：当用公式不能直接求解出答案时，建议大家结合文式图进行做题，即结合下面的图形，将已知条件标清，灵活灵用即可。
重点是弄清每个区域表示的含义。
【小结】在解决容斥问题时我们常将公式法和图示法结合起来用以达到快速解题的目的，所以重点是公式的记忆及图中每个区域的含义。
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